Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik

6.3 Schwache Ströme

Das Dublett der Quarks, das dem Dublett der Leptonen aus Abb. 6.2 entspricht ist also:

$$\left(\begin{array}{c} u\\ d \, \cos \theta_C + s\, \sin \theta_C\end{array}\right)$$ (6.1)

Dem Dublett des Müons und seines Neutrinos entspricht dann:

$$\left(\begin{array}{c} c\\ s \, \cos \theta_C - d\, \sin \theta_C\end{array}\right)$$ (6.2)

Dabei steht $u,d,s,c$ für up, down, seltsames und charm-Quark, $\theta_C$ ist der Cabbibo-Winkel.

6.5 Laufende Kopplung und asymptotische Freiheit

Das Laufen der Kopplung ist aus der Callan-Symanzik-Gleichung bestimmt zu:

$$\mu \frac{\partial \alpha_s}{\partial \mu} = 2 \beta(\alpha _s)$$ (6.3)

wobei $\mu$ die Energieskala ist, also umgekehrt proportional der Abstandsskala. Ist $\beta (\alpha _s)$ negativ, so nimmt $\alpha _s$ mit wachsender Skala $\mu$, also kleinerer werdendem Abstand, ab, die Theorie ist asymptotisch frei.

In der Störungstheorie ergibt sich $\beta (\alpha _s)$ zu:

$$2 \beta (\alpha _s)= - \frac{\beta _0}{2 \pi}\alpha _s^2- \f... ...pi^2}\alpha _s^3- \frac{\beta _2}{64 \pi^3}\alpha _s^4 -\dots$$ (6.4)

mit

$$\begin{eqnarray*} \beta _0&=&11- \frac{2}{3} n_f\\ \beta _1&=&51- \frac{19}{3} n_f\\ \beta _2&=&2587- \frac{5033}{9} n_f+\frac{325}{27} n_f^2 \end{eqnarray*}$$

dabei ist $n_f$ die Zahl der ,,aktiven Flavours'' (s. Tabelle)

Tabelle: Zahlenwerte von $\Lambda_{\rm QCD}$ in Abhängigkeit von der Zahl der aktiven Flavours.

ungefährer	Zahl der aktiven	$\Lambda^{(n_f)}$
Energiebereich	Quark Flavours
$\mu$ (GeV)	$n_f$	(MeV)
$>200$	6	$88 \pm 11$
$10-200$	5	$208 \pm 25$
$3-10$	4	$288\pm 30$
$<3$	3	$326 \pm 30$

Nimmt man nur die niedrigste Näherung, $\beta _0$, so erhält man leicht:

$$\frac{d \alpha _s}{\alpha _s^2} = \frac{\beta _0}{2 \pi} \frac{d\mu}{\mu}$$ (6.5)

und damit

$$\alpha _s(\mu1)=\frac{\alpha _s(\mu_2)}{1 +\frac{\beta _0}{4 \pi} \alpha _s(\mu_2) \log\left(\frac{\mu_2^2}{\mu_1^2}\right)}$$ (6.6)

bzw.

$$\alpha _s(\mu)=\frac{4 \pi}{\beta _0 \log\left(\frac{\mu_1^2}{\Lambda_{\rm QCD}^2}\right)}$$ (6.7)

wobei $\Lambda _{\rm QCD}$ eine für die QCD typische Grösse ist, s. Tabelle.

Die Verwendung der laufenden Kopplung bei der Skala $\mu_2$ entspricht einer Aufsummation aller Potenzen von $\alpha (\mu_1) \log(\mu_2^2/\mu_1^2)$. Leider hängt diese ,,Renormierungsgruppenverbesserung'' in einigen Fällen auch von der Wahl des gewählten Renormierungsschemas ab. Das für viele Fälle bequemste Schema ist das sogenannte $\overline{MS}$ (sprich MS-bar) Schema. MS steht für Minimal Subtraction.

$\bullet$ Für die QED gilt in niedrigster nichtverschwindender Näherung: $\beta_{0\rm QED}= -\frac{4}{3}$, also ist $\beta (\alpha ) >0$ und die QED Kopplung wächst mit wachsender Energie-Skala (abnehmenden Abstand); sie ist also nicht asymptotisch frei. Die natürliche untere Schranke für die Skala ist hier die Elektronenmasse $m_e$. Bei Beschränkung auf $\beta _0$ erhalten wir:

$$\alpha (\mu)=\frac{\alpha (m_e)}{1 -\frac{\beta _{0 \rm QCD}}{4 \pi}\alpha (m_e) \log\left(\frac{\mu^2}{m_e^2}\right)}$$ (6.8)

mit $\alpha (m_e)= \alpha = \frac{1}{137}$.

Der Ausdruck (6.8 hat eine Singularität bei $1 = \frac{\alpha (m_e)}{3 \pi} \log\left(\frac{\mu^2}{m_e^2}\right)$. Dies ist der sogenannte Landau-Pol bei einer Energie von $10^{277}$ GeV !!, dagegen ist die Planck-Masse winzig.

Die Strahlungskorrekturen der QED allein erhöhen die laufende elektromagnetische Kopplung $\alpha$ bei der Skala der $Z^0$-Masse um etwa 2%.

6.7 Quantenchromodynamik auf dem Gitter

Sei $P$ ein Gitterpunkt und $P+\mu$ ein benachbarter Punkt in $\mu$-Richtung; $a$ ist der Abstand zwischen den Gitterpunkten. Hat also etwa $P$ die Koordinaten (0,0,0,0) und ist $\mu=3$, dann hat $P+\mu$ die Koordinaten $(0,0,a,0)$. $\psi(P)$ ist ein Fermionfeld an einem Gitterpunkt $P$ und $U(P,\mu)$ bezeichne ein link von $P$ nach $P+\mu$. $U$ ist ein Element der Eichgruppe, für die Elektrodynamik, $U(1)$, gilt

$$U(P,\mu)=\exp[i a A_\mu(P)].$$ (6.9)

Der wesentlichen Anteile der Wechselwirkung auf dem Gitter ist gegeben einmal durch den reinen Eichfeldanteil

$$\sum_{\mu,\nu=1}^4 U(P,\mu)U(P+\mu,\nu)U(P+\mu+nu,-\nu)U(P+\mu,-\mu),$$ (6.10)

sowie den Fermionischen Anteil

$$\sum_{\mu=1}^4 \psi^*(P+\mu) \gamma_\mu U(P,\mu) \psi(P).$$ (6.11)

Abbildung 6.1: Die Felder auf dem Gitter. Den Punkten sind die Fermionfelder, den Verbindungen zwischen den Punkten ( links) die Eichfelder (6.9) zugeordnet

Die Gitter-QCD wird auf einer Euklidischen Raum-Zeit definiert, diese erhält man aus der Minkowskischen durch die Ersetzung der Zeit durch eine imaginäre Grösse (ja, die gute alte $ict$-Metrik):

$$c t= x_0\to - i x_4,~~ x_4 \mbox{ reell}$$ (6.12)

Der Minkowskische metrische Tensor (1.7) wird durch den Euklidischen ersetzt, d.h. Kronecker-Deltas:
$g_{\mu \nu} \to - \delta_{\mu \nu}$