Die heroische Zeit

Ich benutze im Anhang meist die natürlichen Einheiten, also $\hbar=c=1$.

Wenn nicht ausdrücklich anders vermerkt ist mit der Energie immer die Energie einschliesslich der Ruhenergie gemeint.

1.2 Die Heile Welt

Zur Bestimmung von $e/m$ wird die Coulomb-Kraft des Elektrischen Feldes $E$ und die Lorentz-Kraft des Magnetfeldes $B$ benutzt:
Coulomb-Kraft: $K= e E$ in Richtung des E-Feldes
Lorentz-Kraft: $K= e \, \frac{v}{c} B$, senkrecht auf Richtungen von $v$ und $B$.
$v$ ist die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens, $c$ wie immer die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

$\bullet$Die Rutherfordsche Streuformel für Teilchen der Masse $m$, der Ladung $e$ und der Geschwindigkeit $v~(v\ll c)$ an einem sehr schweren Kern lautet der Ladung $Ze$ :

$$\frac{d \sigma}{d\Omega} = \frac{Z^2 e^4}{4 m^2 v^4 \sin^4(\theta/2)}$$ (1.1)

wobei $\theta$ der Streuwinkel ist.

1.3 Kontrolle ist besser

Der Energieverlust eines geladenen Teilchens der Ladung $e$ und Geschwindigkeit $v$ durch Ionisation pro Längeneinheit ist nach halbklassischen Überlegungen gegeben durch:

$$\frac{dE}{dx} \approx 4 \pi N Z \frac{e^4}{m v^2} \ln B;~~~ B= \frac{m v^3}{(1-v^2/c^2) e^2 \omega }$$ (1.2)

Hierbei ist $N Z$ die Zahl der Elektronen pro Volumeneinheit des ionisierten Materials, $\omega$ eine für das Material typische Frequenz, $\hbar \omega$ ist ungefähr die Ionisierungsenergie.

Für kleine Geschwindigkeiten ($v\ll c$) gilt also

$$\frac{dE}{dx} \approx 4 \pi N Z \frac{e^4}{m v^2} \ln B;~~~ B= \frac{m v^3}{ e^2 \omega }$$ (1.3)

d.h. die Ionisierungsdichte ist umgekehrt proportional der kinetischen Energie. Kennt man den Impuls, z.B aus der Krümmung der Teilchenbahn im Magnetfeld, so kann aus Energie und Impuls die Masse bestimmt werden.

Für grosse Geschwindigkeiten ($v\approx c$) gilt:

$$\frac{dE}{dx} \approx 4 \pi N Z \frac{e^4}{m c^2} \ln B;~~~ B= \frac{E^2 }{m c e^2 \omega }$$ (1.4)

wobei benutzt wurde dass die Gesamtenergie $E$ des ionisierenden Teilchens gegeben ist durch $E=m c^2 /\sqrt{1-v^2/c^2}$ (s. 1.4.1). Hier ist also die Energieabhängigkeit nur schwach, nämlich logarithmisch.

1.4.1 Spezielle Relativitätstheorie und Quantenphysik

Was die gewöhnlichen 3-Vektoren für den Raum sind, sind die 4-Vektoren für das Raum-Zeit-Kontinuum:

$$a=(a_0,a_1,a_2,a_3)$$ (1.5)

Das Skalarprodukt zweier 4-Vektoren ist:

$$a.b= a_0b_0-a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3= \sum_{\mu,\nu=0}^3 a_\mu b_\nu g_{\mu \nu}$$ (1.6)

mit dem ,,metrischen Tensor'' ($4\times 4$-Matrix):

$$g_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 1 &0 &0 &0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{array}\right).$$ (1.7)

(Etwas Matrix-Algebra wird ab (1.28) ff erläutert)

Lorentz-Transformationen lassen das 4-dimensionale Skalarprodukt ungeändert, wie Drehungen im Raum das 3-dimensionale.

Energie $E$ und Impuls $\vec p = (p_1,p_2,p_3)$ bilden zusammen einen 4-Vektor:

$$p=(E/c=p_0,p_1,p_2,p_3)$$ (1.8)

Ebenso Zeit und Raumkoordinaten:

$$x=(c t=x_0, x_1,x_2,x_3)$$ (1.9)

Das Skalarprodukt von $p$ mit sich selbst ist die Masse mal $c^2$:

$$p.p = E^2/c^2- \vec p\,^2= m^2 c^2$$ (1.10)

Der Zusammenhang zwischen Energie $E$, 3-Impuls $\vec p$ und Geschwindigkeit $\vec v$ eines Teilchens mit Masse $m$ ist demnach:

$$\vec p = \frac{m \vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}; ~~ E = \frac{m c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (1.11)

$\bullet$ Die freie Dirac-Gleichung (d.h. ohne elektromagnetische Felder) lautet:

$$\left(\gamma _0 \frac{\partial }{ \partial x_0} + \gamma _1 ... ..._3 \frac{\partial }{\partial x_3} -m c^2\right)u(\vec x, t) =0$$ (1.12)

wobei die $\gamma$-Matrizen $4\times 4$-Matrizen mit folgender Eigenschaft sind:

$$\gamma _\mu \cdot \gamma _\nu + \gamma _\nu \cdot \gamma _\mu= 2 g_{\mu \nu}$$ (1.13)

Der Spinor $u(\vec x,t)$ hat 4 Komponenten

$$u(\vec x,t)=\left(\begin{array}{c} u_1(\vec x,t)\\ u_2(\vec x,t)\\ u_3(\vec x,t)\\ u_4(\vec x,t)\end{array}\right)$$ (1.14)

Die Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld wird in 5.1 (5.5 hergeleitet

1.4.2 Feldtheorie und Quantenphysik

Für das folgende ist es bequem einzuführen:
den Kommutator

$$[A,B]= A B - B A$$ (1.15)

und den Antikommutator:

$$[A,B]_+= A B + B A$$ (1.16)

Für die Erzeuger und Vernichter von Teilchen mit ganzzahligem Spin gilt:

$$[a(\vec x,t), a^*(\vec y, t)]= \delta(\vec x - \vec y),~~ [a(\vec x,t), a(\vec y, t)]=[a^*(\vec x,t), a^*(\vec y, t)]=0$$ (1.17)

Für Fermionen sind die Kommutatoren $[,]$ durch Antikommutatoren $[,]_+$ zu ersetzen.

$\bullet$ Die vollständige Form der Wechselwirkung ist, s. (5.5):

$$L_{\rm Wechselwirkung} = e^2\psi^*(\vec x,t) \gamma_0\left( ... ...,t) - \sum_{k=1}^3\gamma _k A_k(\vec x,t) \right)\psi(\vec x,t)$$ (1.18)

wobei $A_0$ das elektrische und $\vec A$ das magnetische (Vektor-) Potential ist, $e$ ist die Ladung des Teilchens.

$\bullet$ Eine innere Linie eines Quantenfeldes (der sog. Propagator) der Masse $m$ gibt Anlass zu einem Faktor: $1/(p^2-m^2 c^2)$, wobei $p$ der von der inneren Linie getragene 4-Impuls ist.

Der Austausch eines Teilchens mit der Masse $m$ gibt daher einen Faktor:

$$\frac{1}{(p-p')^2-m^2 c^2}$$ (1.19)

wobei $p$ und $p'$ der 4-Impuls vor bzw. nach dem Austausch ist.

Durch Fouriertransformation folgt daraus bei kleinen Geschwindigkeiten (d.h. nichtrelativistisch) für das Wechselwirkungspotential:

$$V(r)= e^{-r m c/\hbar}/r$$ (1.20)

mit $r=\vert\vec x\,\vert$

Für das Photon (Masse 0) folgt daraus das bekannte Coulomb-Potential, für den Austausch von Mesonen das Yukawa-Potential mit der Reichweite $r_0= \hbar/(m \,c)$

Der Faktor $\frac{1}{(p-p')^2}$, der beim Austausch eines Photons auftritt, ist auch Anlass für den Term $1/\sin^4\frac{\theta}{2}$ bei der Rutherford-Streuung.

$\bullet$ Der Quantenkorrektur von Abb. 1.13a (Selbstenergie) entspricht das divergente Integral:

$$e^2 u^*(p)\gamma^0 \int d^4 k \frac{- \gamma .q + m}{(q^2-m^2) k^2}u(p),~~~~q=p-k$$ (1.21)

wobei $u(p)$ der Spinor eines Elektrons mit dem 4-Impuls $p$ ist, $e$ ist die Ladung und $m$ die Masse des Elektrons. $\gamma .q$ ist das Skalarprodukt der $\gamma$-Matrizen mit dem 4-Impuls $q=p-k$, die Einheiten sind so, dass $\hbar=1$ und $c=1$. Der Term $q^2-m^2$ im Nenner kommt von der inneren (d.h. virtuellen) Elektron-Linie, der Term $k^2$ von der inneren Photonlinie.

$\bullet$ Thomson hatte schon 1904 den Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht an Elektronen mit Hilfe der klassischen Elektrodynamik berechnet. Er hatte natürlich den Fluss nicht als Fluss von Teilchen, sondern als Energiefluss betrachtet. Man kann die beiden aber leicht umrechnen, da ein Photon die Energie $\hbar \omega = h \nu$ hat.

Der Thomsonsche Wirkungsquerschnitt ist:

$$\sigma= \frac{8 \pi}{3} r_0^2,~~ r_0= \frac{e^2}{m_e c^2}.$$ (1.22)

Die Grösse $r_0 = 2.8\dots \cdot 10^{-15}$ m wird als klassischer Elektronenradius bezeichnet. Eine Ladungsverteilung mit der Ausdehnung $r_0$ führt zu einer elektrostatischen Energie, die von der Grössenordnung der Ruhenergie des Elektrons, $m c^2= 0.511\dots$ MeV, ist.

Die Graphen von Abb. 1.9 führen in der Grenze verschwindenden Photonenimpulses genau zum Wirkungsquerschnitt 1.22, wenn man für die Ladung $e$ die klassische Ladung einsetzt. In diesem Falle tragen also die Quantenkorrekturen nicht bei, sondern erst bei höheren Photon-Impulsen.

1.4.3 Quantenphysik und Fehler

Obwohl die Quantenmechanik eine deterministische Theorie ist, macht sie nur Wahrscheinlichkeitsaussagen, und deshalb werden die Ergebnisse von Messungen i. a. streuen.

Ganz allgemein gilt: Ist $p$ die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $x$ und liegen insgesamt $N$ Möglichkeiten des Eintretens vor, dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Messwerte $x$:

$$W_B(x) = \frac{N!}{x!(N-x)!} p^x\,(1-p)^{N-x}$$ (1.23)

Für unser Beispiel: Ist $N$ die Gesamtzahl der instabilen Teilchen und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür , dass ein Teilchen innerhalb einer Sekunde zerfällt , dann ist $W_B(x)$ die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, dass ich in einer Sekunde $x$ Zerfälle registriere (angenommen, jeder Zerfall bringt meine Messapparatur zum Ansprechen).

Für den wichtigen Spezialfall, dass $p$ sehr klein und $N$ sehr gross ist, geht diese ,,Binomialverteilung'' über in die ,,Poisson-Verteilung'':

$$W_B(x) = \frac{N^x \,p^x}{x!}$$ (1.24)

Nahe dem Mittelwert $\bar x = p N$ kann man diese Poisson-Verteilung auch durch eine Normal- oder Gauss-Verteilung approximieren:

$$W_G(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma } \exp^{(x- \bar x)^2/(2 \sigma ^2)}$$ (1.25)

mit $\sigma = \sqrt{\bar x}$

$\sigma$ wird als Standardabweichung bezeichnet. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2/3 liegt das aktuelle Messergebnis innerhalb des Bereiches $\bar x - \sigma \leq x \leq \bar x + \sigma$ oder umgekehrt, mit der Wahrscheinlichkeit von 1/3 liegt die Wahrscheinlichkeit $p$ ausserhalb des Bereiches ( $\frac{ x + \sigma }{N}, \frac{ x - \sigma }{N}$), wobei $x$ der aktuelle gemessene Zahl der eingetretenen Ereignisse (z.B. Zerfälle oder Streuereignisse) ist.

Wenn die mit Hilfe der Quantenmechanik exakt berechnete Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $p$ ist, so werden die Ergebnisse von Messreihen dennoch nach den oben angegebenen Verteilungen streuen. Um aus Messergebnissen auf die Wahrscheinlichkeit $p$ zu schliessen, muss ich die Schwankungen berücksichtigen. Da die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{p N}$ ist, erhalte ich, mit $pN \approx x$ :

$$p=\frac{(x \pm \sqrt{x})}{N}.$$ (1.26)

Der absolute Standardfehler ist also $\Delta p =\frac{\sqrt{x}}{N}$, der relative Fehler, auf den es i. a. ankommt ist:

$$\frac{\Delta p}{p} = \frac{1}{x}$$ (1.27)

Dies zeigt, wie der relative Fehler mit der Zahl der gemessenen Ereignisse abnimmt, allerdings leider nur mit der Wurzel. Um eine 100 mal bessere Genauigkeit zu erzielen, brauche ich 10 000 mal mehr Ereignisse.

1.5.1 Symmetrien und Transformationen

Eine Gruppe ist eine Menge $G$ von Elementen,$a,b,\dots$, für die es eine Verknüpfung $a\, b$ - i. a. Multiplikation genannt - gibt, mit den folgenden Eigenschaften:

1. Mit $a$ und $b$ ist auch das Produkt $a\, b$ wieder Element der Gruppe.
2. Es gibt genau ein Eins-Element mit $1\,a=a\,1=a$ für alle $a$.
3. Zu jedem Element $a$ gibt es genau ein inverses Element, bezeichnet mit $a^{-1}$, mit $a\,a^{-1} = a^{-1}\,a= 1$.
4. Es gilt das Assoziativgesetz: $a\,(b\,c)=(a\,b)\,c$

$\bullet$ Matrizen: Allgemeine $n$-dimensionale Matrix:

$$\mbox{\bf A}=(a_{ik})=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12... ..._{33}&\dots\\ \vdots &&&\\ \dots&&& a_{nn}\end{array}\right)$$ (1.28)

Produkt zweier Matrizen:

$$\mbox{\bf A}\, \mbox{\bf B}= \left(\begin{array}{cccc} \sum_... ... \vdots &&&\\ \dots&&&\sum_i a_{ni}b_{in} \end{array}\right)$$ (1.29)

Die Summe $\sum_i$ über $i$ geht von 1 bis $n$.

Die Anwendung einer $n$-dimensionalen Matrix $\mbox{\bf A}$ auf einen $n$-dimensionalen Vektor $v$ ergibt wieder einen Vektor:

$$v=\left(\begin{array}{c}v_1\\ v_2\\ v_3\\ \vdots\\ v_n \end{... ...\ \sum_ia_{3i}v_i\\ \vdots \sum_ia_{ni}v_i \end{array}\right)$$ (1.30)

Man definiert die adjungierte Matrix als das komplex Konjugierte und Transponierte:

$$\mbox{\bf A}^* =(a^*_{ki})=\left(\begin{array}{cccc} a^*_{11... ..._{33}&\dots\\ \vdots &&&\\ \dots&&& a^*_{nn}\end{array}\right)$$ (1.31)

Die Einheitsmatrix ist

$$1=(\delta _{ik})=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&\dots\\ 0&1... ...ts\\ 0&0&1&\dots\\ \vdots &&&\\ \dots&&& 1\end{array}\right)$$ (1.32)

Sind die Komponenten der Matrix reell, wird nur transponiert, da für eine reelle Zahl gilt $a^*=a$.

Eine Matrix mit reellen oder komplexen Argumenten $\mbox{\bf U}$ heisst unitär, wenn

$$\mbox{\bf U}^{-1} = \mbox{\bf U}^*$$ (1.33)

(verallgemeinerte Drehung).

Beispiel: Drehung in einer Ebene um den Winkel $\theta$.

Drehmatrix:

$$\mbox{\bf D}_\theta= \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$ (1.34)

Gedrehter Vektor von $v=(\begin{array}{c} v_1\\ v_2\end{array})$:

$$v'=\left(\begin{array}{c}\cos \theta\, v_1 + \sin\theta \,v_2\\ -\sin \theta \,v_1 + \cos \theta\, v_2 \end{array}\right)$$ (1.35)

Zwei Drehungen um die Winkel $\theta$ und $\phi$ hintereinander durchgeführt ergeben

$$D_\phi\,D_\theta = \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta ... ...in{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi\\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$$ (1.36)

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos \theta\,\cos \phi) -\sin \theta\, si... ...in \phi & \cos \theta \,\cos \phi - \sin \theta \, \sin \phi \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{cc} \cos (\theta+\phi) & \sin (\theta+\phi)\\ -\sin (\theta+\phi) & \cos (\theta+\phi) \end{array}\right)$$

Das Produkt ist also eine Drehmatrix um den Winkel $\theta + \phi$.

Für die Drehmatrizen gilt:

$$\mbox{\bf D}^* = \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin ... ... \end{array}\right)= \mbox{\bf D}_{-\theta}= \mbox{\bf D}^{-1}$$ (1.37)

Dies ist charakteristisch für die Drehung, da diese Eigenschaft garantiert, dass Längen von und Winkel zwischen Vektoren sich nicht ändern.

1.5.2 Das Wunder des Spins

$\bullet$ Genau genommen sind die Drehimpulsoperatoren die Erzeugenden der Drehungen multipliziert mit $\hbar$.

Eine Drehung um die $z$-Achse mit dem Winkel $\phi$ lässt sich mit Hilfe der erzeugenden $\mbox{\bf L}_z$ darstellen als:

$$e^{i \phi \mbox{\bf L}_z }$$ (1.38)

Die Exponentialfunktion von einem Operator lässt sich z.B. über die Potenzreihe definieren:

$$e^{i \mbox{\bf L}_z \phi}= 1+i \phi \mbox{\bf L}_z \phi+(i \phi\mbox{\bf L}_z )^2/2 + (i\phi\mbox{\bf L}_z )^3/6+\dots$$ (1.39)

Die Erzeugenden der $SU(2)$, $\mathbf{s_1,~s_2,~s_3}$ sind gegeben durch die Pauli-Matrizen:

$$\sigma _1=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0\end{array}\right... ...\sigma _3=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)$$ (1.40)

nämlich: $\mathbf{s_k} = \frac{1}{2} \sigma _k,~~k=1\dots 3$.

Man kann direkt die Vertauschungsrelationen nachrechnen:

$$\mathbf {s_1 \,s_2 - s_2 \,s_1=} i \mathbf { s_3}$$ (1.41)

Die Drehung eines Spinors um die $z$-Achse ist gegeben durch (Potenzreihenentwicklung):

$$e^{i \mathbf {s}_3 \phi} =\left(\begin{array}{cc} \cos \frac... ... 0&\cos \frac{\phi}{2}-\sin \frac{\phi}{2} \end{array}\right)$$ (1.42)

Für $\phi=360^\circ$ ist $\cos (\phi/2) = -1$ und $\sin (\phi/2) = 0$, bei einer Drehung um $\phi=360^\circ$ ist also $e^{i \mathbf {s}_3 \phi}$ das Negative der Einheitsmatrix! Das heisst, dass bei einer vollen Drehung um 360$^\circ$ ein Spinor sein Vorzeichen ändert. Dies hat experimentell bestätigte Konsequenzen.

1.6 Die Entdeckung des Positrons und des ,,Mesotrons''

Ein geladenes Teilchen der Masse $m$ und Ladung $e$ bewege sich mit dem Impuls $\vec p$ einem homogenen Magnetfeld. Es gilt die Bewegungsgleichung:

$$\frac{d\vec p}{dt}= \frac{e}{c}[\vec v \times \vec B],~~~\vert\vec p\,\vert={\rm konstant}$$ (1.43)

Für Geschwindigkeiten senkrecht zum Magnetfeld ergibt sich als Lösung eine Kreisbahn mit Radius

$$R= c\vert\vec p\,\vert/(e B)$$ (1.44)

Aus dem Krümmungsradius $R$ lässt sich also der Impuls bestimmen.

1.7 Frühe Beschleuniger

Für $v$ klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit folgt aus 1.44

$$R= \frac{m v c}{e B},$$ (1.45)

und für die Umlauffrequenz $f=v/(2 \pi R)$

$$f=\frac{e B}{2 \pi m c},$$ (1.46)

d.h. die Umlauffrequenz ist in nichtrelativistischer Näherung unabhängig von der Geschwindigkeit und damit der Energie.

Für alle Geschwindigkeiten, auch $v$ nahe bei $c$, gilt die Beziehung:

$$v= p c^2/E$$ (1.47)

wobei $E$ die Gesamtenergie des Teilchens ist. Damit wird die Umlauffrequenz:

$$f= \frac{e c B}{2 \pi E},$$ (1.48)

sie fällt also mit zunehmender Gesamtenergie ab. In nichtrelativistischer Näherung ist die Gesamyenergie gleich der Ruhenergie.